Prejsť na hlavný obsah
Hlavná stránka Centrálneho informačného portálu MŠ SR
Hľadať
Ministerstvo školstva SR
Domov
Veda v SR
Veda v EÚ
Financovanie
Výsledky projektov V a V
Slovensky English
Centrálny informačný portál baner

Nekonečno v matematike, filozofii a náboženstve 

 
prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc.,  

Centrum vedecko-technických informácií Slovenskej republiky (CVTI SR) v Bratislave na Patrónke privítalo v Prvej bratislavskej vedeckej cukrárni dňa 28. apríla 2009 vyše sto študentov bratislavských stredných škôl a gymnázií. Hosťom podujatia, ktorého organizátormi sú Národné centrum pre popularizáciu vedy a techniky v spoločnosti a občianske združenie Mladí vedci Slovenska, bol prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc., vedúci Katedry algebry, geometrie a didaktiky matematiky na Fakulte matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave.

Podujatie už tradične moderoval RNDr. Ján Šípoš, CSc., z občianskeho združenia Mladí vedci Slovenska.

Prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc.,  vo svojej prednáške na tému Nekonečno v matematike, filozofii a náboženstve okrem iného zdôraznil, že nekonečno je niečo, čo zo svojej samotnej definície sa nedá poriadne uchopiť. To znamená, že by sme tomu nemali poriadne rozumieť. Vo chvíli, keď si myslíme, že tomu rozumieme, uvažujeme o niečom, čo je mimo. V matematike považujeme nekonečno za niečo samozrejmé, na čo sme si už zvykli. Nekonečno by malo byť predovšetkým niečo, čo nás presahuje, čo sa vymyká akýmkoľvek možnostiam rozumového, zmyslového aj pojmového uchopenia. Nekonečno sa vyskytuje v rôznych podobách. Asi základná podoba je nekonečné množstvo, potom niečo ako nekonečná veľkosť. Napríklad o reálnej osi alebo priamke máme predstavu, že siaha odtiaľ až potiaľ, na obidvoch stranách donekonečna, ale ona je nekonečná aj do hĺbky, pretože sa dá nekonečne jemne deliť. Ak si vezmeme hocaký malý úsek na úsečke, stále ho môžeme rozdeliť. To znamená, že sa tam stretávame akoby s dvoma podobami nekonečna čo do diaľky aj čo do hĺbky. Dá sa uvažovať aj o nekonečne čo do intenzity aj čo do sily. Dá sa uvažovať o nekonečnej rýchlosti. Fyzika nás poučila, že v reálnom svete je akási medza pre možné rýchlosti materiálnych objektov a tým je rýchlosť svetla. Alebo napr. nekonečnými mukami budú trpieť hriešnici v ohni pekelnom a pod.

Na mieste je otázka, či existuje vôbec niečo také ako nekonečno. V reálnom svete sa zrejme s nekonečným množstvom objektov nestretneme. Ak by bol ten počet akokoľvek veľký, tak ich bude len konečne veľa. Máme fiktívnu predstavu, že priamka siaha od nekonečna do nekonečna. Existuje nejaký geometrický bod? Ťažko. Keď si spravíme na tabuľu krížik, že je to tu, alebo malú bodku, tak správny učiteľ by mal žiaka hneď opraviť. Toto je len nejaký obrázok na tabuli, ktorý nám napomáha pochopiť ten pojem bodu, ale ten bod je nekonečne malý alebo teda je menší než čokoľvek, čo sme schopní nakresliť. Úsečka by mala byť čiara, ktorá je nekonečne tenká a je úplne priama. Zasa tam máme to nekonečno. Keď nakreslíme čokoľvek na tabuli, tak to dokonale priame nebude a navyše je to súvislé. Dokonalý štvorec tiež asi neexistuje. Akokoľvek si ho nakreslíme alebo urobíme z nejakého materiálu,  ten štvorec to pripomína raz dokonalejšie, raz menej, ale dokonalý štvorec reálne neexistuje. Je to akási ideálna forma, ktorú sme si vymysleli, ktorú oddeľujeme od reálnych tvarov.

prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc. vo Vedeckej cukrárni

Vedecká cukráreň


Podobne je to s číslami. Existuje číslo päť? Existuje päť prstov, päť eur a podobne. Ale to je päť prstov, päť eur. Čísla sú pojmy ideálne – myšlienkové konštrukty, ktoré sa ukazujú na nejakých reálnych objektoch, keď ich je taký počet. Z tohto hľadiska priamo neexistujú. Číslo nula neoznačuje nič. Keď je tam nič, to vlastne hovorí, že to, čo označujem, neexistuje. Záporné čísla boli dodatočne vymyslené a nehovoriac o číslach imaginárnych, ako je „íčko“. Dnes sa s tým už veľmi na stredných školách nestretnete. Zoberme si  číslo, ktoré sme označili „i“. Napr. „i“ na druhú mínus jeden. Medzi „slušnými“ číslami sa také nevyskytuje. V bežnom slova zmysle tie matematické pojmy rad radom neexistujú. Prečo by akurát nekonečno malo byť výnimkou? Ale my sme si na ne zvykli, takže už nám to tak neprekáža, už nám to ani nenapadne, že by tá ich existencia bola trochu iného druhu ako existencia objektov z reálneho sveta, a navyše vieme s nimi narábať. Narábanie s nimi a tie úvahy sa ukazujú užitočné a dokonca aplikovateľné aj v reálnom svete. Podobne by sme mohli začať uvažovať aj o nekonečne.

 prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc. a RNDr. Ján Šípoš, CSc.

 diskusia

 Vedecká cukráreň


Môžeme priznať existenciu nekonečna, pokiaľ o ňom vieme  uvažovať, to znamená, vieme ho nejako uchopiť v rozume ako pojem. Ale toto je práve problém. Nekonečno tiež istým spôsobom presahuje naše možnosti. Keď sa nad nekonečnom zamýšľame, tak sa dostávame do akýchsi sporov s tým, na čo sme zvyknutí vo svete konečných javov.  Prvý príklad je, ktorý si uvedomil už Galileo,  že množina párnych prirodzených čísel je určite vlastnou časťou množiny všetkých prirodzených čísel. Na druhej strane, z istého hľadiska, je tých všetkých prirodzených čísel viac ako párnych. Avšak tých párnych čísel je rovnako veľa, pretože keď si budem tie čísla písať ako dva, štyri, šesť, osem a tak ďalej, môžem pod každé z nich napísať číslo, ktoré hovorí, koľké je v poradí  –¬ prvé, druhé, tretie. Inak povedané, keď priradím k prirodzenému číslu  „m“ párne číslo „2m“, dostanem vzájomne jednoznačné zobrazenie jednej množiny na druhú. Takže z tohto hľadiska ich je rovnako veľa. To je taký prvý malý problém s tým nekonečnom.

 Vedecká cukráreň

 prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc.

 Lívia Majerníková


Starí Gréci o nekonečne v takejto podobe neuvažujú. Oni uvažujú o nekonečne ako apeirón, to je o niečom neurčitom, neuchopiteľnom a zámennom. Kdesi tam, kde sa náš svet akosi prepadá do toho chaosu, tam sa vytrácajú naše istoty a ten svet sa tak rozmazáva do akéhosi  neuchopiteľného apeirónu.  Apeirón nie je možná pevná určitá veda. O tom si môžeme rozprávať rôzne báje. Kto čítal grécke báje, tak vie, že tam za obzorom môže byť všetko možné. Nekonečno sa objavuje v úvahách gréckych filozofov, ale grécka matematika sa nekonečnom nezaoberá.

účastníci Vedeckej cukrárne   diskusia  prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc.

Hociktorým smerom sa pozrieme, tak náš pohľad je ostro prerušený nejakou pevnou prekážkou. Ak sa pozrieme na nejakom otvorenom priestranstve do diaľky, tak ten náš pohľad je ukončený nejakou nie pevnou a ostrou hranicou, ale obzorom. S obzorom sa stretávame aj pri pohľade smerom do hĺbky. Napr. na fyzike a chémii nás učia, že stôl sa skladá z molekúl, z akýchsi diskrétnych objektov, ale my ich nevidíme. Splývajú do súvislého tvaru, kontinua. To znamená, že tie molekuly sa nachádzajú za obzorom rozlíšiteľnosti môjho pohľadu a vďaka tomu, že nám splývajú, tak  vidíme súvislý tvar. Keby sme sa na stôl pozreli pod mikroskopom, napríklad elektrónovým, tak by sme videli niečo celkom iné namiesto stola. Ani by sme netušili, že to je stôl, keby sme to nevedeli vopred. Keď si javy, ktoré končia pred obzorom, vyložíme ako konečné a tie čo vedú k obzoru – pretože ďalej nevieme čo sa deje – ako nekonečné, tak hovoríme o prirodzenom nekonečne.

Klasická veda sa snaží skúmať javy objektívne, to znamená, že nie tak ako sa nám javia, ale tak, ako naozaj sú. Obzor je javom subjektívnym. To nie je jav samotného sveta, ale jav, ktorý sprevádza naše pohľady do toho sveta. Keď sa snažíme skúmať nekonečno klasickým objektivistickým spôsobom, tak si kladieme otázku, nie či sa nám niečo javí ako konečné alebo nekonečné, ale či to naozaj konečné alebo nekonečné je. Absolútnu nekonečnosť nejakým javom môžeme len priznať, nemôžeme ju prírodovedne overiť. Ako môžeme priznať nekonečnosť? Môžeme vypracovať akýsi výklad nejakého javu, na základe ktorého ho prehlásime za absolútne nekonečný. V európskom kultúrnom priestore sa na vypracúvanie takýchto výkladov cíti povolaná tradične len teológia. Tradične sú totiž pripisované rôzne vlastnosti majúce atribút nekonečna Bohu, pokiaľ ide o mieru jeho moci, múdrosti. On je vševedúci, všemocný, ako je aj nekonečne milosrdný.  Avšak napr. vševedúcnosť a všemohúcnosť sú nejakým spôsobom v spore. Keď on vie všetko čo bude, tak už zrazu nie je slobodný vo svojom konaní.

 účastníci Vedeckej cukrárne  diskusia  prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc.

To sú pomerne ťažké teologické otázky, ktorými sa po celý stredovek aj veľkú časť novoveku teológia aj filozofovia zaoberali. Riešenie ponúka Mikuláš Kuzánsky, ktorý hovorí, že je chyba podriaďovať Boha rozumom, pretože nestojí rozum nad Bohom, ale Boh nad rozumom a z tohto hľadiska aj s tým nekonečnom nejaké problémy hrozia. Pri vypracúvaní výkladu absolútneho nekonečna zohrali úlohu teologické motivácie. Poznať absolútne nekonečno  zrejme celkom nemôžeme, ale môžeme postupne rozumom skúmať to, čo Boh obsiahne jediným pohľadom. Ale keď Boh obsiahne jediným pohľadom aj absolútne nekonečno, tak pred ním to niečo absolútne nekonečné leží tak, ako pred nami by ležalo niečo konečné. Týmto teologickým výkladom prenášame na absolútne nekonečno atribúty konečna. Feuerbach hovoril, že nie Boh stvoril človeka, ale človek si stvoril Boha na svoj vlastný obraz. Podľa profesora Zlatoša  jedno druhému neodporuje. Podľa neho i keby Boh stvoril človeka, tak človek toho Boha nepoznáva absolútne bezprostredne, ale tvorí si svoj obraz Boha zase na svoj obraz.

 diskusia  prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc., interview

Tradične sa uvažuje o nekonečne ako o potenciálnom a aktuálnom. O aktuálnom nekonečne hovoríme, keď si predstavíme, že všetky prirodzené čísla už sú vytvorené ako keby. Podobne je to s priamkou. Úsečku môžeme predĺžiť o ľubovoľný kus. V tomto zmysle priamka je potenciálne nekonečná alebo priamka je tá možnosť, tá potencia, stále predlžovať úsečku, ale i ďalej, aj do hĺbky.  V škole žiakov učia, že úsečka je množina bodov. To je pomerne moderný pohľad, ktorý je dotvorený až teóriou množín. Tradične úsečka nebola množina bodov. Úsečky a body boli svojím spôsobom rovnocenné ideálne objekty a body mohli ležať na úsečke, lebo úsečka mohla prechádzať nejakými bodmi. Na úsečku môžeme umiestniť veľa bodov. Tá množina bodov je potenciálne nekonečná. Keď si predstavíme, že všetky body tam už umiestnené sú, tak vtedy hovoríme o aktuálnom nekonečne. O množinách uvažujeme jedine vtedy, keď všetky objekty tej množiny sú už vytvorené. 

 prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc.  knihy z fondu CVTI SR  výstavka kníh

Bolzano  (filozof, matematik a teológ v 19. storočí)  bol tvorcom prvého ešte nie celkom dovŕšeného konceptu teórie množín. Išlo mu najmä o množiny nekonečné. Jeho základná téza je, že za každou podobou javu nekonečna sa dá nájsť akýsi nekonečný obor objektov. Takže každý výskyt javu nekonečna je vyvolaný nejakou nekonečnou množinou, alebo aspoň dodatočne ho môžeme v myšlienkach tou množinou podložiť.  Snažil sa dokázať, že existujú nekonečné množiny,  ale bol si vedomý toho,  že v reálnom svete nekonečnú množinu nenájde. Bolzano sa pokúsil ukázať, že existuje množina všetkých právd po sebe (to znamená akási pravda nielen zmyslového nazerania, ale akási pravda apodiktická, nezvratná) a že takýchto právd je nekonečne veľa.  Nekonečná množina je taká, ktorá sa dá vzájomne jednoznačne zobraziť na akúsi svoju vlastnú časť, napr. prirodzené čísla sa dajú zobraziť na množinu všetkých prvočísel, ktorých je tiež nekonečne veľa. Bolzano bol  presvedčený, že existuje len jeden typ nekonečna. Všetky nekonečné množiny sú akýmsi spôsobom rovnako veľké. To sa neskôr ukázalo v rozpore s inou koncepciou teórie množín, ktorú vybudoval Georg Cantor.

 prof. RNDr. Pavol Zlatoš, CSc., rozhovory  RNDr. Ján Šípoš, CSc.  záver Vedeckej cukrárne

Cantor je považovaný za zakladateľa teórie množín, pretože ju rozpracoval podstatne ďalej a práve na Cantorovej  teórii množín bola založená celá matematika. Cantor  vychádzal z akéhosi vymedzujúceho princípu: Množiny môžem tvoriť tak, že keď mám hocakú vlastnosť, tak môžem vytvoriť množinu objektov, ktoré tú vlastnosť majú. Ale veľmi rýchlo došiel k akémusi paradoxu. Cantorova  teória množín v pôvodnej podobe  je sporná. Tento paradox objavil Russel. Cantorova teória množín pozná nekonečná mnohých typov. Z toho hľadiska sa nám zrazu tých nekonečien začína vytvárať celé spektrum, akási hierarchia nekonečien a dokonca viac. Je ich nielen  mnoho, ale je ich viac ako sa zmestí do akejkoľvek nekonečnej množiny. To znamená, že ani aktualizáciou nekonečných množín sa teória množín potenciality nezbaví.

Videozáznam podujatia

Spracovala: PhDr. Marta Bartošovičová         
Foto: NCP VaT      

Súvisiaci článok vo Vedeckom kaleidoskope:
Vedecká cukráreň: Nekonečno v matematike, filozofii a náboženstve                                       

Copyright © 2008-2014 Centrum vedecko-technických informácií SR